{
  "id": "extremal-graph-conjectures",
  "org": "OpenAI",
  "topic": "Extremal graph theory",
  "published": "2026-08-01",
  "status": "formalized-provider-reported",
  "method": "Provider announcement; formal certificates reported, not rerun here",
  "math": "Extremal graph theory",
  "source": "https://openai.com/index/ten-advances-in-mathematics/",
  "source_kind": "provider_announcement",
  "checked": "2026-10-29",
  "editorial_published": "2026-10-29",
  "editorial_method": "AI-assisted original educational interpretation; primary announcement inspected",
  "translations": {
    "en": {
      "title": "How dense can a graph be without creating a forbidden pattern?",
      "simple": "A graph is a network of points and links. Add enough links and particular patterns become unavoidable. Extremal graph theory asks where that transition occurs.",
      "research": "The release reports results on compactness and degeneracy conjectures, associated with Erdős problems 146 and 180.",
      "academic": "The forbidden graph, asymptotic variable and density notion must be fixed before comparing bounds. Degeneracy constrains how sparse every subgraph can remain under successive deletion. Compactness questions concern whether restrictions from a family can be captured by finitely many members in the relevant extremal sense. These are distinct claims and should be audited separately within the released manuscript.",
      "impact": "Potentially improves the structural tools used to connect local constraints with global network density.",
      "caution": "This dossier groups the related announcement rather than counting it as several independent verified wins. We have not reproduced the proofs."
    },
    "nl": {
      "title": "Hoe dicht kan een graaf worden zonder een verboden patroon?",
      "simple": "Een graaf is een netwerk van punten en verbindingen. Bij voldoende verbindingen worden bepaalde patronen onvermijdelijk. Extremale grafentheorie onderzoekt die grens.",
      "research": "De publicatie meldt resultaten over compactheid en degeneratie, gekoppeld aan Erdős-problemen 146 en 180.",
      "academic": "Leg eerst de verboden graaf, groeivariabele en dichtheidsmaat vast. Degeneratie beschrijft een vorm van ijlheid van deelgrafen. Compactheidsvragen onderzoeken of een familie beperkingen met een eindige selectie kan worden gevangen. De verschillende claims vragen afzonderlijke controle.",
      "impact": "Kan structurele hulpmiddelen versterken voor de relatie tussen lokale beperkingen en netwerkgrootte.",
      "caution": "Deze aankondiging telt als één dossier, niet als meerdere onafhankelijk bewezen overwinningen."
    },
    "de": {
      "title": "Wie dicht kann ein Graph ohne verbotenes Muster werden?",
      "simple": "Ein Graph besteht aus Punkten und Verbindungen. Fügt man genügend Verbindungen hinzu, werden bestimmte Muster unvermeidbar. Extremale Graphentheorie untersucht diese Schwelle.",
      "research": "Die Veröffentlichung meldet Resultate zu Kompaktheits- und Degenerationsvermutungen, verbunden mit Erdős-Problemen 146 und 180.",
      "academic": "Vor einem Vergleich sind verbotener Graph, Wachstumsvariable und Dichtebegriff festzulegen. Degeneration beschreibt eine Form von Sparsität der Teilgraphen. Kompaktheitsfragen betreffen die Reduktion einer Beschränkungsfamilie auf endlich viele Mitglieder. Die Aussagen sind getrennt zu prüfen.",
      "impact": "Könnte Werkzeuge zur Verbindung lokaler Einschränkungen mit globaler Netzwerkdichte verbessern.",
      "caution": "Das Dossier fasst verwandte Aussagen zusammen, ohne sie als mehrere unabhängig bestätigte Erfolge zu zählen."
    },
    "fr": {
      "title": "Quelle densité pour un graphe sans motif interdit ?",
      "simple": "Un graphe est un réseau de points et de liens. Avec assez de liens, certains motifs deviennent inévitables. La théorie extrémale des graphes étudie cette transition.",
      "research": "L’annonce présente des résultats sur des conjectures de compacité et de dégénérescence, liés aux problèmes 146 et 180 d’Erdős.",
      "academic": "Avant de comparer les bornes, il faut fixer le graphe interdit, la variable de croissance et la notion de densité. La dégénérescence mesure une forme de parcimonie des sous-graphes ; la compacité concerne la réduction d’une famille de restrictions à un nombre fini. Ces affirmations doivent être examinées séparément.",
      "impact": "Peut améliorer les outils reliant contraintes locales et densité globale des réseaux.",
      "caution": "Ce dossier regroupe l’annonce sans compter chaque affirmation comme une victoire indépendamment validée."
    },
    "es": {
      "title": "¿Qué densidad puede alcanzar un grafo sin un patrón prohibido?",
      "simple": "Un grafo es una red de puntos y conexiones. Con suficientes conexiones algunos patrones son inevitables. La teoría extremal de grafos estudia esa transición.",
      "research": "El anuncio presenta resultados sobre conjeturas de compacidad y degeneración relacionados con los problemas 146 y 180 de Erdős.",
      "academic": "Para comparar cotas hay que fijar el grafo prohibido, la variable de crecimiento y la medida de densidad. La degeneración expresa cierta escasez de conexiones en subgrafos; la compacidad pregunta si una familia de restricciones puede reducirse a una selección finita. Las afirmaciones deben auditarse por separado.",
      "impact": "Podría mejorar herramientas que relacionan restricciones locales con densidad global de redes.",
      "caution": "Este informe agrupa resultados relacionados sin contarlos como varias victorias verificadas de manera independiente."
    },
    "it": {
      "title": "Quanto può essere denso un grafo senza un motivo vietato?",
      "simple": "Un grafo è una rete di punti e collegamenti. Con abbastanza collegamenti, alcuni motivi diventano inevitabili. La teoria estremale dei grafi studia questa transizione.",
      "research": "L’annuncio presenta risultati su congetture di compattezza e degenerazione, associati ai problemi 146 e 180 di Erdős.",
      "academic": "Prima di confrontare limiti vanno fissati grafo vietato, variabile di crescita e nozione di densità. La degenerazione esprime una forma di scarsità nei sottografi; la compattezza riguarda la riduzione di una famiglia di vincoli a un insieme finito. Le affermazioni richiedono verifiche separate.",
      "impact": "Può migliorare gli strumenti che collegano vincoli locali e densità globale delle reti.",
      "caution": "Il dossier raggruppa risultati correlati senza contarli come più successi verificati indipendentemente."
    }
  },
  "translation_method": "AI-assisted explanatory translations; not native mathematical peer review",
  "url": "https://appliedfrontier.nl/en/discoveries/extremal-graph-conjectures/",
  "as_of": "2026-10-29"
}